La dimostrazione per assurdo

 

 

Che cosa significa dimostrare

Dimostrazione per assurdo

Un esempio filosofico di ragionamento per assurdo


Che cosa significa dimostrare

Dimostrare significa passare da alcune premesse a delle conclusioni. La possibilità di passare direttamente, o attraverso delle inferenze immediate o attraverso delle inferenze mediate, dalle premesse (dalle ipotesi) alla conclusione (alla tesi) è ciò che chiamiamo il metodo diretto di dimostrazione.

Il metodo indiretto, o per assurdo, di dimostrazione è stato elaborato già dal pensiero antico, in particolare nella matematica.

Vediamone la struttura considerando un esempio tratto dalla geometria.

Nella geometria euclidea, dopo la definizione degli enti fondamentali che la costituiscono (punto, retta, piano ecc.), si fissano quelli che vengono chiamati postulati, o assiomi, ossia enunciati non dimostrabili e assunti come veri. In realtà, il pensiero greco, a differenza di quello contemporaneo, distingue fra assioma (enunciato la cui verità è evidente) e postulato (enunciato la cui verità non né evidente né dimostrabile, ma è assunta

Da qui parte la dimostrazione di teoremi, in cui le premesse sono le ipotesi da cui si parte e la conclusione è, appunto, la tesi da dimostrare. Un teorema è un quindi un enunciato del tipo:

 “Da certe ipotesi H si deduce la tesi T”

Questo significa che la tesi T, ossia l’enunciato la cui verità è da dimostrare, segue, grazie a una deduzione, dalle ipotesi H, cioè da enunciati assunti come veri, fra cui vi possono essere anche postulati.

Fatti questi chiarimenti possiamo illustrare un caso di metodo indiretto di dimostrazione, cioè una dimostrazione per assurdo.

 


La dimostrazione per assurdo

Consideriamo il teorema la cui tesi afferma che due rette parallele ad una terza retta sono parallele tra loro. Per dimostrarlo partiremo da due ipotesi: 1) l’ipotesi di lavoro secondo cui vi sono due rette a e b parallele ad una terza retta c; 2) l’ipotesi vera e propria data dal V postulato di Euclide, secondo cui per un punto fuori da una retta può passare una e una sola retta parallela alla retta data.

Come detto, la tesi afferma che le rette a e b, ognuna parallela a una terza retta c, sono parallele tra loro. Neghiamo ora la tesi e affermiamo la seguente contro-tesi: le rette a e b, ognuna parallela a una terza retta c, non sono parallele tra loro. Ma se non sono parallele tra loro, allora s’incontreranno in un punto, detto P, che sarà ovviamente esterno alla retta c. Da P, quindi, passeranno due rette a e b; tuttavia ognuna di queste sarà, come da ipotesi di lavoro, parallela a c. Ciò equivale a dire che per il punto P esterno alla retta c passeranno due rette parallele alla retta data, il che è in contraddizione con il V postulato. Questo comporta che dalla contro-tesi segue una contraddizione; pertanto è da considerarsi falsa. Ma se la contro-tesi (cioè la negazione della tesi) è falsa, allora la sua negazione (cioè la negazione della negazione della tesi, ovvero la tesi) è vera. Quindi le due rette a e b parallele tra loro; come volevasi dimostrare.

Distinguiamo i passaggi di questa dimostrazione per assurdo, in modo da illustrare meglio il ragionamento che la caratterizza.

1. Affermazione di un principio assunto come vero: Per un punto fuori da una retta si può condurre una sola parallela alla retta data (V postulato di Euclide)

2. Affermazione della tesi da dimostrare: Due rette a e b parallele ad una terza retta c sono parallele tra loro.

3. Affermazione della contro-tesi ottenuta negando la tesi: Due rette a e b parallele ad una terza retta c non sono parallele tra loro

4. Estrazione di conseguenze dalla contro-tesi, tra cui: Due rette a e b non parallele fra loro, ma parallele a c, si incontrano in un punto P, esterno a c.

5. Rilevazione della contraddizione tra “Le due rette a e b sono parallele a c e si incontrano in un punto P, esterno a c” e “Per un punto fuori da una retta può passare una e una sola retta parallela alla retta data”; cioè si rileva una contraddizione tra quanto dedotto in 4 e quanto assunto come vero in 1.

6. Rilevazione della violazione del principio di non.-contraddizione e del fatto che se un enunciato produce conseguenze contraddittorie esso è falso; nel nostro caso è la contro-tesi che porta a una contraddizione e quindi essa è falsa.

7.  Assunzione del principio del terzo escluso per il quale se un enunciato è falso allora il suo opposto è vero. Nel nostro caso, se la contro-tesi è falsa, allora la sua negazione è vera, cioè è vera la tesi: Due rette a e b parallele ad una terza retta c sono parallele tra loro. Come volevasi dimostrare (c.v.d.).

Ecco la visualizzazione di questo tipo di ragionamento dimostrativo

 


Un esempio filosofico di ragionamento per assurdo

Con Parmenide (515/510-440 ca.) viene alla luce la nozione di essere, oggetto privilegiato dell’indagine filosofica. Al di là delle apparenze, in cui sembra che tutto muti e divenga altro, per il filosofo di Elea il vero oggetto del pensiero è l’essere, unico, eterno, intero, immutabile, immobile e finito: «Il non essere né lo puoi pensare (non è infatti possibile), né lo puoi esprimere» (DK 28, B2).

 

Ebbene, su questa base è possibile mettere a punto quella forma di ragionamento che consiste nel sostenere una tesi mostrando che il suo opposto è contraddittorio.

 

Il principio fondamentale da cui parte questo ragionamento è chiaramente espresso: “L’essere è e non può in alcun modo non essere. Il non essere non è e non può in alcun modo essere” (DK 28, B2).

 

Si viene così a creare un sistema a due valori (essere e non essere) dove si afferma l’essere e quindi si nega il non essere. Vi sono cioè le premesse per costruire una giustificazione della tesi attraverso la riduzione all’assurdo della tesi opposta.

 

Vediamo come si articola.

Chiedendosi quali sono gli attributi dell’essere, Parmenide sostiene, tra l’altro, che l’essere è ingenerato, cioè senza inizio. Questa è la tesi da giustificare. Se l’essere fosse generato - argomenta Parmenide - deriverebbe da altro da sé e quindi dal non essere: ma poiché il non essere non è, l’essere è ingenerato. Analogamente egli giustifica altri attributi dell’essere (unico, senza fine, intero, immutabile, immobile),

 

Il brano che riportiamo è tratto da Sulla Natura di Parmenide, di cui ci è rimasto un ampio frammento iniziale. In essa Parmenide narra di come sia stato rapito e portato al cospetto della dea e di come, grazie al suo insegnamento, essa abbia appreso la via della verità, che nega il non essere, afferma l’essere e definisce  i suoi attributi. Riportiamo qui la giustificazione del primo e dell’ultimo di tali attributi: l’essere ingenerato e l’essere finito.

 

Non resta oramai che pronunciarsi sulla via

che dice che è. Lungo questa sono indizi

in gran numero. Essendo ingenerato è anche imperituro,

tutt’intero, unico, immobile e senza fine.

Non mai era né sarà, perché è ora tutto insieme,

uno e continuo. Difatti quale origine gli vuoi cercare?

Come e donde il suo nascere? Dal non essere non ti permetterò

di dirlo né di pensarlo. Infatti non si può né dire né pensare

ciò che non è. E quand'anche, quale necessità può aver spinto

lui, che comincia dal nulla, a nascere dopo o prima?

Di modo che è necessario o che sia del tutto o che non sia per nulla.

[...]

Ma poiché vi è un limite estremo, è compiuto

da ogni lato, simile alla massa di ben rotonda sfera

di ugual forza dal centro in tutte le direzioni.

 

Parmenide, Sulla natura, DK 28 B8, trad. it. in I Presocratici. Testimonianze e frammenti, a cura di G. Giannantoni, Laterza, Roma-Bari, 1981, vol. I, pp. 274-277.

 

Ciò che qui interessa è la struttura del ragionamento parmenideo.

Esso si può articolare nei sette passaggi già visti sopra

 

1. Affermazione di un principio assunto come vero: “L’essere è e non può in alcun modo non essere. Il non-essere non è e non può in alcun modo essere”

2. Tesi: si afferma ciò che si vuole dimostrare, cioè “l’essere è ingenerato”.

3. Contro-tesi: si nega la tesi e si sostiene che “l’essere è generato” (= non è ingenerato).

4. Da questa contro-tesi si traggono delle conseguenze logiche: nel nostro caso se l’essere è generato, esso deriva da altro da sé. Non trattandosi di essere, esso sarà non-essere. Quindi, se è generato, l’essere deriva dal non-essere.

5. Si rileva una contraddizione tra una conseguenza della contro-tesi (cioè “l’essere deriva dal non essere”) e quanto si è assunto in 1 (cioè “Il non essere non è e non può in alcun modo essere”).

6. Si rileva che si è violato il principio di non-contraddizione e quindi la contro-tesi,  che porta a una contraddizione, è falsa.

7. Applicazione del principio del terzo escluso: se la contro-tesi è falsa, allora la tesi è vera. Ed è proprio ciò che si voleva sostenere, cioè che “l’essere è ingenerato”.

 

 

E’ qui opportuno sottolineare che siamo comunque in presenza di un’argomentazione e non di una dimostrazione.

 

Infatti, basta porre in discussione il principio di partenza perché tutta l’impalcatura del ragionamento venga meno. Nel nostro caso, basterebbe ammettere che tra essere e non essere esiste una terza possibilità, quella di un divenire che in parte è e in parte non è.

 

Su questa base, i predicati dell’essere non sono più giustificabili, o almeno non lo sono più utilizzando lo strumento della riduzione all’assurdo.

 

Per questo è corretto parlare qui di una argomentazione, la riduzione all'assurdo, piuttosto che di una dimostrazione, la dimostrazione per assurdo.

 

 


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